Deux fonctions sont équivalentes si le sous-ensemble du domaine où ils diffèrent a la mesure zéro. Le choix de σ {displaystyle sigma}-algèbres dans la définition ci-dessus est parfois implicite et laissé au contexte. Quand avec la mesure de Lebesgue, ou plus généralement n`importe quelle mesure de Borel, alors toutes les fonctions continues sont mesurables. Ils sont l`un des objets de base de l`étude dans l`analyse, à la fois en raison de leur applicabilité pratique large et l`attrait esthétique de leur généralité. Exemples: tout d`abord, nous allons donner quelques exemples de fonctions mesurables. Dans la théorie des probabilités, une fonction mesurable sur un espace de probabilité est connue comme une variable aléatoire. Let (X, Σ) {displaystyle (X, Sigma)} et (Y, T) {displaystyle (Y, mathrm {T})} être des espaces mesurables, ce qui signifie que X {displaystyle X} et Y {displaystyle Y} sont des ensembles dotés de σ {displaystyle sigma}-algèbres Σ {displaystyle Sigma} et T { DisplayStyle mathrm {T}}. Si une fonction est mesurable dépend de la mesure sur, et, en particulier, il dépend uniquement de l`algèbre Sigma des ensembles mesurables dans. J`ai raison? Si f {displaystyle f} est mesurable, les jeux suivants sont équivalents et mesurables: (i) {x E: f (x) < α} {displaystyle (i) {xin E:f (x) α} {displaystyle (II) {xin E:f (x) > alpha }} (i i) {x E: f (x) ≤ α} { DisplayStyle (III) {xin E:f (x) leq alpha }} (i v) {x E. f (x) ≥ α} {displaystyle (IV) {xin E:f (x) geq alpha }} nous utilisons ces ensembles preuve: il doit être clair que (i) et (IV) sont équivalents par des compléments d`algèbres , comme pour les (II) et (III). Let f, g: E → [− ∞, ∞] {displaystyle f, g:Erightarrow [-infty, infty]} être étendu mappages à valeur réelle à partir du domaine mesurable $E $.

Sigma} et T {displaystyle mathrm {T}}. Juste au cas où quelqu`un trouvera ça maintenant. Certains auteurs définissent des fonctions mesurables comme exclusivement des valeurs réelles par rapport à l`algèbre de Borel. La réponse si une fonction est mesurable ou non dépend principalement de la Sigma-algèbre choisie. Souvent, au lieu de véritables fonctions réelles, les classes d`équivalence des fonctions sont utilisées. Comme je m`attends à une fonction mesurable est la fonction qui mappe un ensemble à un autre où la préimage d`un sous-ensemble mesurable est mesurable. Dans l`analyse réelle, des fonctions mesurables sont utilisées dans la définition de l`intégrale de Lebesgue. Equipez $ mathbb R $ avec, disons, le Borel $ sigma $-algèbre.

Il reste à démontrer l`équivalence des (i) et (III). Ce qui est intéressant avec cette définition est sa relation forte avec la définition de la continuité entre les espaces topologiques, qui est, la préimage de chaque ensemble ouvert est ouvert. Du point de vue de la théorie des mesures, les sous-ensembles avec la mesure zéro n`ont pas d`importance. Let f: E → [− ∞, ∞] {displaystyle f:Erightarrow [-infty, infty]} être une fonction étendue à valeur réelle définie sur un domaine mesurable E. Sigma} pour chaque E T {displaystyle Ein mathrm {T}}; i. en fait, pratiquement toutes les fonctions qui peuvent être décrites sont mesurables. En prouvant la mesurabilité, il existe un autre ensemble d`outils qui sont utiles. Si les valeurs de la fonction se situent dans un espace vectoriel à dimensions infinies, d`autres définitions non équivalentes de la mesurabilité, telles que la mesurabilité faible et la mesurabilité de Bochner, existent. Cette fonction ne sera pas mesurable pour Sigma-algèbre $ {emptyset, X } $, mais sera si nous choisissons par exemple $ mathcal{B} (mathbb{R}) $.